Q.45: सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।

Answer:
उत्तर: सबसे पहले इसका उलटा मान लेते हैं; यानि मान लेते हैं कि √5 एक परिमेय संख्या है।
ऐसी संख्या के लिये a और b दो ऐसी संख्या होंगी जहाँ b ≠ 0 तथा a और b प्राइम होंगे, ताकि;
√5= a/b
या, b√5=a

दोनों तरफ का वर्ग करने पर यह समीकरण मिलता है;

5b² = a²
इसका मतलब है कि a², 5 से डिविजिबल होगा और इसलिये a भी 5 से डिविजिबल होगा।
लेकिन यह हमारी पहले के मान का विरोधी है कि a और b कोप्राइम हैं, क्योंकि हमें 5 के रूप में a और b का कम से कम एक कॉमन फैक्टर मिल गया है।
यह हमारे पहले मानी हुई संभावना कि b√5 प्रमेय संख्या है का भी विरोधाभाषी है।

इसलिए एक b√5 अप्रमेय संख्या है सिद्ध हुआ।